Uganka Super Luna
Izziv eksponentne funkcije, ki sta ga reševala tudi Mythbustersa!
Kaj imajo skupnega “Super Luna”, delnice in druge naložbe, novi koronavirus (Covid-19) ter Mythbustersa? Preberite v prispevku 😉
V mesecu aprilu smo lahko opazovali SUPER LUNO, kar pomeni dvoje: 1.) da je bila LUNA POLNA, 2.) da je bila hkrati tudi NAJBLIŽJE Zemlji pri svojem mesečnem obhodu.
Če je v času »super Lune« Luna najbližje Zemlji… Koliko pa je sicer Luna v povprečju oddaljena od Zemlje? Odgovor: Približno 384.400 km.
Si predstavljaš takšno razdaljo »sestaviti« s prepogibanjem navadnega papirja? Beri dalje…
UGANKA
Kaj misliš, najmanj kolikokrat moramo prepogniti list papirja, debeline 0,1 mm, da bo njegova debelina večja kot je razdalja od Zemlje do Lune?
A) 42 krat
B) 420 krat
C) 4200 krat
D) 42000 krat
REŠITEV UGANKE
Čestitke vsem, ki ste izbrali odgovor A! 🙂
List je potrebno prepogniti “le” 42 krat, saj se debelina povečuje eksponentno z vsakim prepogibom. Povzetek izračuna: 0,0001 m x 2^42 = 440.000.000 m, kar je več kot dovolj, da pridemo do Lune 🙂 …(podrobnejša razlaga izračuna v nadaljevanju).
42-KRAT BO PA ŽE ŠLO…ALI PAČ…
Vsak, ki se loti prepogibanja papirja, kaj hitro ugotovi, da ni tako enostavno. Že po nekaj prepogibih občutimo, da list zelo težko znova prepognemo.
Zakaj? Ni debelina lista papirja zgolj 0,1mm? DA, vendar…
…debelina se z vsakim prepogibom povečuje eksponentno, kar pomeni, da bi npr. že pri 7 prepogibih morali prepogibati več kot 1 cm debel papir! (2^7 * 0,01cm = 1,28cm).
Ravno 7-krat pa velja za neko »magično mejo«, katero je nemogoče prekositi. A tudi to je možno. Adam Savage in Jamie Hyneman, bolje znana kot Mythbustersa, sta se lotila prav izziva, v katerem sta skušala papir prepogniti več kot sedemkrat. Jima je uspelo? Sta prišla do Lune? Preveri v posnetku.
ZAKAJ le 42-krat prepogibov, da pridemo do Lune? EKSPONENTNA FUNKCIJA.
Sliši se težavno, a ni. Razložimo počasi, da bo jasno vsem. Naj bo debelina papirja X.
Ko papir prepognemo 1-krat, se bo debelina podvojila, torej bo debelina 2X. Ko papir ponovno prepognemo, torej bo prepognjen 2-krat, bo debelina papirja 4X. Ko prepogneš papir še tretjič, bo debelina papirja 8X.
Če se ti zdi preveč abstraktno, vzemi papir v roke, ga prepogni 3-krat in prepričani smo, da ti bo vse jasno!
V spodnji tabeli tabeli so zbrani rezultati prepogibanja.
Število prepogibov | Debelina prepognjenega papirja |
0 | X |
1 | 2X |
2 | 4X |
3 | 8X |
4 | 16X |
5 | 32X |
42 | 4398046511104X |
Zadnja vrstica tabele ni napaka, debelina prepognjenega papirja dejansko izjemno »hitro« narašča.
Kako te rezultate zapisati v obliki odvisnosti med številom prepogibov in debelino prepognjenega papirja?
Nekateri bi odvisnost oziroma funkcijo razbrali direktno iz tabele, drugi iz dejstva, da se ob vsakem prepogibu debelina papirja podvoji. Funkcija, ki opiše odvisnost med številom prepogibov in debelino prepognjenega papirja je:
To je eksponentna funkcija z osnovo 2. Kako prepoznaš eksponentno funkcijo? Tako, da neodvisna spremeljivka x nastopa v eksponentu!
Če rezultate vnesemo v koordinatni sistem in narišemo krivuljo skozi točke, dobimo graf eksponentne funkcije, kot je prikazano na spodnji sliki.
Opomba grafu: Z rdečo je narisan graf, ki je smiseln za prepogibanje papirja (negativnih prepogibov ni), s svinčnikom pa dokončan celoten graf, torej tudi za negativne vrednosti x osi.
Sedaj, ko razumemo osnovni koncept, naj še na kratko pojasnimo rešitev uganke. Zakaj 42-krat?
Debelina neprepognjenega papirja je, kot navedeno, 0.1 mm. Z vsakim prepogibom se debelina veča eksponentno, kot navaja enačba zgoraj. Po 42 prepogibih bi bila debelina papirja:
Ker je razdalja med Luno in Zemljo 384.400 km, smo po 42 prepogibih celo presegli to razdaljo!
OK, RAZUMEM. VENDAR VSEENO GRE ZA POSEBEN PRIMER. KJE LAHKO ŠE SREČAM EKSPONENTNO ODVISNOST?
Eksponentna funkcija oz. eksponentna odvisnost opiše veliko procesov in dogodkov v naravi. Rast populacije, širjenje virusov, razpad radioaktivnih jeder in še mnogo drugih.
Na kratko opišimo dva najbolj zanimiva primera.
a) ŠIRJENJE KORONAVIRUSA, COVID-19
Trenutno najbolj aktualen je problem koronavirusa, Covid-19, pri katerem je največji izziv zaustaviti njegovo hitro širjenje.
Spodnja slika prikazuje širjenje virusa v primeru, ko vsak posameznik okuži 2 človeka. Število okuženih hitro narašča, saj se število okuženih s koronavirusom v vsakem koraku podvoji. Morda prepoznaš, za katero eksponentno odvisnost gre? Namig: Funkcija, ki opiše širjenja virusa na spodnji sliki, je enaka primeru prepogibanja papirja.
Zakaj so države uvedle karanteno? Razlog je preprost – v primeru eksponentne rasti števila okuženih bi se virus tako hitro širil, da zdravstveni sistem ne bi mogel oskrbeti toliko obolelih. S karanteno smo omejili socialne stike in preprečili eksponentno rast števila obolelih.
b) OBRESTNO OBRESTNI RAČUN – DELNICE, DEPOZITI IN DRUGE NALOŽBE
Zagotovo si že slišal, da najbolj bogati ljudje postajajo vedno bolj bogati, če svoj denar pametno investirajo. Kaj to pomeni? To pomeni, da denar vlagajo v različne naložbe, ki jim prinašajo določen letni donos. Najlažje bomo razumeli na naslednjem primeru…
Najbolj varna naložba, a žal tudi najmanj donosna, je polog gotovine v banko, z drugimi besedami depozit. Vsako leto ti banka pripiše nekaj odstotkov obresti. Recimo, da vložiš v banko 1000€, letna obrestna mera pa naj bo 5%. To pomeni, da banka prvo leto pripiše 50€ obresti. Po prvem letu boš tako imel 1050€. Drugo leto se obresti ponovno obračunajo, vendar banka tokrat izračuna obresti glede na 1050 € (ne več zgolj na 1000€, ki si jih vložil). Ob 5% obrestni meri, boš imel po koncu drugega leta 1102,50 €. Po tretjem letu 1157,63 €. In tako naprej. Vsako leto množiš izračunano vrednost z 1,05, saj je obrestna mera oz. donos 5%. Tudi tu gre za eksponentno rast.
Kaj pa, če bi vložil 100.000 € v delniške sklade z 10% letnim donosom in počakal 30 let? Nad rezultatom boš presenečen…
Prav si prebral, iz 100.000 €, kar trenutno ustreza manjšemu, starejšemu stanovanju izven večjih mest, bi po 30 letih imel skoraj 2 milijona evrov!!! Misel na upokojitev bi bila verjetno sladka.
OČITNO JE ZNANJE EKSPONENTNE FUNKCIJE UPORABNO…
Vsekakor. Celoten prispevek, ki si ga pravkar prebral, dokazuje, da poznavanje eksponentne odvisnosti koristi tudi izven šolskih klopi. Zato ni presenečenje, da se z njo sreča vsak dijak. Eksponentna funkcija in eksponentna enačba sta namreč sestavni del učnega načrta za matematiko za vse gimnazije, poklicne, tehniške,… na kratko, za vse srednje šole. Ne glede na izbrano maturitetno raven matematike, osnovno raven ali višjo raven, je eksponentna funkcija zagotovo snov, ki jo mora vsak dijak na maturi matematike dobro razumeti.
TI EKSPONENTNA FUNKCIJA POVZROČA PREGLAVICE? Z VESELJEM POMAGAMO!
Brez skrbi, tudi eksponentno funkcijo imamo v malem prstu 🙂 Če potrebuješ našo pomoč, ti lahko pomagamo v Ljubljani in Kranju z okolico, kjer nudimo inštrukcije matematike, fizike, kemije in elektrotehnike za učence osnovnih šol, dijake srednjih šol in študente naravoslovno tehniških fakultet.
Spoznaj ekipo inštruktorjev z bogatimi izkušnjami s poučevanjem na gimnazijah in preveri, s kom se najbolj ujameš ter nas kontaktiraj. In seveda… še naprej spremljaj naše zanimive bloge 🙂
Inštrukcije Legitant
Si želite branja podobnih vsebin? Prijavite se na e-novice!
Ne spreglejte naših drugih prispevkov!
5 nasvetov za najbolj učinkovite inštrukcije
Inštrukcije postajajo vse bolj pogost način priprave na test, popravni izpit, maturo, kolokvij in celo na tekmovanje. Kako inštrukcije izkoristiti na pravi način? Kako doseči uspeh, pridobiti veselje do učenja, da ob tem denarnica (staršev) ne bo preveč trpela?